Вычисления в таблицах

МЕТОД КРАМЕРА И МАТРИЧНЫЙ МЕТОД

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.
  ⤋⤋⤋⤋⤋⤋⤋

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

.

Найти значения  и возможно только при условии, если

.

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема Крамера : Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Уравнение: 

6x+5y=-8
4x+7y=2

Матричный метод

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с ${\displaystyle n}$ неизвестными (над произвольным полем):

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots ,\\a_{n1}x_{1}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n};\end{cases}}}$

Тогда её можно переписать в матричной форме:

${\displaystyle AX=B}$, где ${\displaystyle A}$ — основная матрица системы, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle X}$ — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}},X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$

Умножим это матричное уравнение слева на ${\displaystyle A^{-1}}$ — матрицу, обратную к матрице ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle A^{-1}\left(AX\right)=A^{-1}B}$

Так как ${\displaystyle A^{-1}A=E}$, получаем ${\displaystyle X=A^{-1}B}$. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

${\displaystyle \det A\neq 0}$.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор ${\displaystyle B=0}$, действительно обратное правило: система ${\displaystyle AX=0}$ имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если ${\displaystyle \det A=0}$. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма

.